1^er degré :

Équation : a.x + b = 0

Solution :

2^e degré :

Équation : a.x² + b.x + c = 0

Solution :

• si b est impair : soit D = b² - 4.a.c
  • si D > 0, 2 racines réelles :
    
    et
    
  • si D = 0, 1 racine réelle double :
    
  • si D < 0, 2 racines imaginaires :
    
    et
    
• si b est pair : soient b’ = b/2 et D’ = b’² - a.c
  • si D > 0, 2 racines réelles :
    
    et
    
  • si D = 0, 1 racine réelle double :
    
  • si D < 0, 2 racines imaginaires :
    
    et
    

Remarque :

Les deux racines sont telles que :
x² - (x₁+x₂).x + x₁.x₂ = 0
x₁ + x₂ = c/a
x₁ . x₂ = -b/a

3^e degré :

Équation : x³ + a.x² + b.x + c = 0

Solution :

Par changement de variable du type x = x’ - a/3, on arrive à une équation du type
x³ + p.x + q = 0

On la résout par la méthode de Cardan :

Soit

• Si R > 0, soient :
  
  
  
  
  Il y a 1 racine réelle   x₁ = t’ + t’’
  et 2 racines imaginaires   x₂ = b + a.i   et  x₃ = b - a.i
• Si R = 0, il y a 1 racine triple
  
• Si R < 0, il y a 1 racine triple
  
  avec a tel que
  
  

4^e degré :

Équation : X⁴ + A.X³ + B.X² + C.X + D = 0

Solution :

Par changement de variable du type x = X - A/4, on arrive à une équation du type
x⁴ + a.x² + b.x + c = 0 (1)

L'idée de la résolution est de mettre cette équation sous la forme :
(2)
Pour cela, on recherchera quelles valeurs peut prendre l pour pouvoir arriver à cette forme
Le développement de (2) nous donne :

et en classant les termes :
(3)


En comparant les termes de (3) à ceux de (1) :
(4)
(5)
(6)
A partir de ces 3 équations, on recherche la correspondance entre (l, u, g) et (a, b, c)
Par substitutions successives, on arrive à :



On obtient ainsi une équation du 3^e degré, que l'on résout comme décrit au paragraphe précédent
Pour info :
On procède au changement de variable :
(7)
D'où l'équation :

Soient

et



On obtient finalement l'équation :



Les racines de cette équation sont m, d'où les valeurs de l d'après (7)
Les équations (4), (5) et (6) fournissent alors les valeurs de u et g
Il ne reste plus qu'à résoudre l'équation (2) pour obtenir les valeurs de x, puis celles de X.