Nombres complexes


Soit le nombre complexe i, tel que i² = -1

Les nombres complexes peuvent s’écrire :
- sous la forme cartésienne :     z = x + iy
- sous la forme polaire :     z = r ( cos + i sin ) = r e i


x est appelé partie réelle     x = Re(z) = r cos
y est appelé partie imaginaire     y = Im(z) = r sin


r est appelé module de z     r = |z| = (x²+y²)1/2
est appelé argument de z      = arg(z) = arctan (y/x)

Conjugué de z :
z* = x – iy
|z*| = |z|
arg(z*) = -arg(z)

Multiplication de complexes :
Soient z1 = x1 + iy1
     Et z2 = x2 + iy2
z1.z2 = (x1x2-y1y2) + i (x1y2+x2y1)
|z1.z2| = |z1|.|z2|
arg(z1.z2) = arg(z1)+arg(z2)

Division de complexes :
Soient z1 = x1 + iy1
     Et z2 = x2 + iy2
z1/z2 = z1.z2* / |z2|² = [(x1x2+y1y2) + i (x2y1-x1y2)] / (x2²+y2²)
|z1/z2| = |z1| / |z2|
arg(z1/z2) = arg(z1)-arg(z2)

Puissances :
zn = rn e in = rn cos (n) + rn sin (n)
zn = [xn – Cn2xn-2y2 + Cn4xn-4y4 - ….] + i [Cn1xn-1y1 – Cn3xn-3y3 + ….]
Si zn = un + i vn
     alors zn+1 = un+1 + i vn+1
     avec un+1 = xun – yvn     vn+1 = xvn + yvn
1 / z = z* / |z|² = (x – iy) / (x²+y²)
1 / zn = (z*)n / |z|2n

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