1^ère méthode:

On pose la fraction, chaque polynôme étant écrit en classant par ordre décroissant leurs monômes.

Pour le premier monôme de P(x), on met en facteur en faisant resortir le terme égal à Q(x), et on rajoute un terme de correction :

On sépare le premier monôme de la solution, et qui est d'ordre n-p

On développe le numérateur et on regroupe par ordre décroissant

On poursuit avec la nouvelle fraction, dans laquelle le numérateur a vu son ordre baisser d'une unité
Le processus est interrompu lorsque dans la fraction, l'ordre du numérateur devient inférieur à celui du dénominateur
On aboutit ainsi à

Remarque :
Il est possible de poursuivre la procédure si on désire obtenir des nonômes de degré négatif

2^e méthode

On pose la division
La procédure est pratiquement la même que celle décrite ci-dessus, en fait, seule l'écriture de la barre de fraction a été modifiée

J'ai ici réduit les écritures pour ne pas surcharger les formules.