Méthode 1

Soit un point N décrivant le cercle de centre O et de rayon a. Ce point se projette en P sur x'x et en Q sur y'y. Soit M, le projeté orthogonal de N sur (PQ). La trajectoire décrite par le point M est une astroïde

Méthode 2

L'astroïde est la courbe décrite par un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon 4r. L'astroïde est donc une hypocycloïde.

Méthode 3

L'astroïde est la courbe décrite par un point M d'un cercle de rayon 3r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon 4r. L'astroïde est donc une hypocycloïde.

Méthode 4

Soit un segment PQ de longueur a, et tel que le point P est sur l'axe x'x et le point Q est sur l'axe y'y. On fait glisser le point P le long de l'axe P'P. On fait de même pour les quatre quadrants du plan. L'enveloppe des différentes positions de PQ ast une astroïde

Méthode 5

Soit le cercle C de centre O et de diamètre 2r. Soit le cercle C ' de centre A et de rayon 2r. Soit un point N décrivant le cercle C '. Le point M est l'intersection de la tangente au cercle C ' passant par N et de la droite parallèle au rayon AN et passant par B. Le point M décrit une astroïde.

Equation cartésienne : ou (x2+y2-a2)3 + 27.a2.x2.y2 = 0 Equation paramétrique : x(t) = a . cos3 t y(t) = a . sin3 t Equation polaire : M(r,f) : tan f = tan3 t Longueur de la courbe = 6.a Aire = 3/8 . p . a2